страница - 0
Рост и залечивание шаровой поры в упругопластическом теле под действием гидростатического давления
Даль Ю.М., Пронина Ю.Г. (DearJuly@gmail.com)
Санкт-Петербургский государственный университет
1.Введение. Большинство конструкционных материалов имеют врожденную (обусловленную особенностями изготовления) пористость. Зарождение и рост несплошностей происходит также в процессе эксплуатации конструкций. Концентрация напряжений в окрестности указанных дефектов существенно влияет на физико-механические характеристики материалов. По данным [1] прочность аморфных сплавов возрастает пропорционально уменьшению пористости, независимо от способа ее залечивания (повышенным давлением или отжигом). В то же время увеличение свободного объема, особенно при наличии в порах агрессивной среды, создающей давление, приводит к зарождению и ускоренному росту микротрещин. Исследования, проведенные авторами [1], показали, что для многих аморфных материалов поры имеют в основном форму, близкую к сферической. Поэтому задача о больших деформациях шаровой поры в нелинейно-упругом теле под действием гидростатического давления представляет большой интерес.
2.Постановка задачи. Рассмотрим изотропное тело в виде полой сферы с внешним радиусом R1 и внутренним радиусом R0 (рис. 1). Пусть на внешней поверхности тела действует постоянная нормальная нагрузка p1 = const, а на внутренней - постоянная нормальная нагрузка p0 = const.
Введем сферические координаты r, 0, р с началом в центре поры. Из условий симметрии вытекает, что напряжения orr, а00, Ощ, являются главными напряжениями, тангенциальные перемещения ир = u0 =0, а радиальное перемещение и зависит только от координаты r.
Рис. 1
Как известно, истинные деформации определяются выражениями
Бгг = ln
du 1 + - dr
u
1 + U
(1)
v r j
Согласно деформационной теории пластичности, напряжения и деформации связаны между собой зависимостями
CJrr - 0 =
0вв-0 =
о - о =
2о
3ег гг 2о
3 3z
вв->
9 = Srr + 8вв + Sqxp 0 = (0rr + 0вв+0<№)
(2)
V2 3
0 =2(0вв -0""Р)2 + (0вв -0rr )2 + (0W-0rr )2
Здесь о= Ф(81) = f (r) - закон упругопластического деформирования.
3. Решение задачи. Обозначим деформированную координату произвольной точки
через
r* = r + u (r)
(3)
2
Будем считать справедливым выполнение условия несжимаемости 0 = 0. Подставляя в него соотношения (1) и (3), преобразуем его к виду
r2 dr
Интегрируя последнее уравнение, получим [2], что r* = V r Отсюда на основании (3) будем иметь
Vr + а
и = л/r3 + аъ - r(4)
где а - произвольная постоянная интегрирования. Подстановка соотношения (4) в зависимости (1) дает
.3Л
11i г1 а"
£оо=£щ=-2 = 3ln 1 + -г
23 v r J Внося выражения (5) в формулу для интенсивности деформаций st, находим
(5)
2 ,
3
1+а
V r j
(6)
\ rr
dorr 2 dr
Умножая уравнение равновесия -- +- (orr - ощ) = 0 на-, приведем его к виду
dr* r*dr
*-Orr-Орр) = 0(7)
dr r* dr
Из формул (1) и (2) вытекают равенства осрхр=о0в, opcp-otr =ot . В результате подстановки этих выражений в уравнение (7) и его последующего интегрирования, получим
r2
о- = 2 [ °r 3 dr+A , (A = const)(8)
R r +а
Учитывая краевые условия orr(R0) = p0 , orr(R1) = p1, из формулы (8) находим [3]
r2
о- = 2 J -°++r + p,(9)
R r +а
R2
p1 - p0 = 2 J-Z+dr(10)
Эти формулы верны в случае, если молекулы среды в шаровой полости могут свободно диффундировать через ее поверхность так, чтобы давление (- p0) в ней оставалось
неизменным. При накоплении газа в полостях слагаемое p0 необходимо представлять как
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] мойке окон Стеллажи для склада: стеллажи металлические в санкт-петербурге. Библиотеки и стеллажи! Скидки.