Рост и залечивание шаровой поры в упругопластическом теле под действием гидростатического давления

Даль Ю.М., Пронина Ю.Г. (DearJuly@gmail.com)

Санкт-Петербургский государственный университет

1.Введение. Большинство конструкционных материалов имеют врожденную (обусловленную особенностями изготовления) пористость. Зарождение и рост несплошностей происходит также в процессе эксплуатации конструкций. Концентрация напряжений в окрестности указанных дефектов существенно влияет на физико-механические характеристики материалов. По данным [1] прочность аморфных сплавов возрастает пропорционально уменьшению пористости, независимо от способа ее залечивания (повышенным давлением или отжигом). В то же время увеличение свободного объема, особенно при наличии в порах агрессивной среды, создающей давление, приводит к зарождению и ускоренному росту микротрещин. Исследования, проведенные авторами [1], показали, что для многих аморфных материалов поры имеют в основном форму, близкую к сферической. Поэтому задача о больших деформациях шаровой поры в нелинейно-упругом теле под действием гидростатического давления представляет большой интерес.

2.Постановка задачи. Рассмотрим изотропное тело в виде полой сферы с внешним радиусом R1 и внутренним радиусом R0 (рис. 1). Пусть на внешней поверхности тела действует постоянная нормальная нагрузка p1 = const, а на внутренней - постоянная нормальная нагрузка p0 = const.

Введем сферические координаты r, 0, р с началом в центре поры. Из условий симметрии вытекает, что напряжения orr, а00, Ощ, являются главными напряжениями, тангенциальные перемещения ир = u0 =0, а радиальное перемещение и зависит только от координаты r.

Рис. 1

Как известно, истинные деформации определяются выражениями

Бгг = ln

du 1 + - dr

u

1 + U

(1)

v r j

Согласно деформационной теории пластичности, напряжения и деформации связаны между собой зависимостями

CJrr - 0 =

0вв-0 =

о - о =

2о

3ег гг 2о

3 3z

вв->

9 = Srr + 8вв + Sqxp 0 = (0rr + 0вв+0<№)

(2)

V2 3

0 =2(0вв -0""Р)2 + (0вв -0rr )2 + (0W-0rr )2

Здесь о= Ф(81) = f (r) - закон упругопластического деформирования.

3. Решение задачи. Обозначим деформированную координату произвольной точки

через

r* = r + u (r)

(3)

2

Будем считать справедливым выполнение условия несжимаемости 0 = 0. Подставляя в него соотношения (1) и (3), преобразуем его к виду

r2 dr

Интегрируя последнее уравнение, получим [2], что r* = V r Отсюда на основании (3) будем иметь

Vr + а

и = л/r3 + аъ - r(4)

где а - произвольная постоянная интегрирования. Подстановка соотношения (4) в зависимости (1) дает

.3Л

11i г1 а"

£оо=£щ=-2 = 3ln 1 + -г

23 v r J Внося выражения (5) в формулу для интенсивности деформаций st, находим

(5)

2 ,

3

1+а

V r j

(6)

\ rr

dorr 2 dr

Умножая уравнение равновесия -- +- (orr - ощ) = 0 на-, приведем его к виду

dr* r*dr

*-Orr-Орр) = 0(7)

dr r* dr

Из формул (1) и (2) вытекают равенства осрхр=о0в, opcp-otr =ot . В результате подстановки этих выражений в уравнение (7) и его последующего интегрирования, получим

r2

о- = 2 [ °r 3 dr+A , (A = const)(8)

R r +а

Учитывая краевые условия orr(R0) = p0 , orr(R1) = p1, из формулы (8) находим [3]

r2

о- = 2 J -°++r + p,(9)

R r +а

R2

p1 - p0 = 2 J-Z+dr(10)

Эти формулы верны в случае, если молекулы среды в шаровой полости могут свободно диффундировать через ее поверхность так, чтобы давление (- p0) в ней оставалось

неизменным. При накоплении газа в полостях слагаемое p0 необходимо представлять как