страница - 0
Предпрогнозный анализ микро- и макроэкономических рядов на базе фазовых траекторий и агрегирования
Перепелица В.А.( Perepel2@yandex.ru), Джашеева Ф.М.,
Темирова М.А.
Карачаево-Черкесская технологическая академия
1. Фазовый анализ исследуемых временных рядов
Эволюционный процесс подразумевает определение такого понятия, как «фазовое пространство». С математической точки зрения фазовое пространство - это множество с надлежащей структурой, элементы которого (фазовые точки) представляют (условно изображают) состояния системы. Чаще всего не делается различия между состояниями и изображающими их фазовыми точками в силу имеющего место изоморфизма между ними. Термин «эволюционный процесс» или эволюция системы, означает хронологически упорядоченную последовательность точек фазового пространства.
Эволюция системы может быть строго детерминированной или иметь стохастический характер. При исследовании эволюционного процесса исходной информацией является временной ряд, т. е. упорядоченная последовательность наблюдений за значениями некоторого показателя.
Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным уравнением
XM = F (Xt), t = 1,2,....(1)
Здесь Xt - это вектор из П компонент, где П может быть очень большим числом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. Функция F в (1) переводит систему из одного момента времени в следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин xt, t = 1,2,...,T . Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией h, которая называется «функцией наблюдателя»
xt = h(Xt).(2)
Сколь угодно длинный временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [1,2,3,4].
Для получения сведений об исходной системе необходим некоторый способ, с помощью которого можно было возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе, осуществляем построение фазовой траектории [1,2] размерности р :
Фр(Х)={((, Xt+1,...., xt+p 1)},t = 1,2,... T.(3)
Термин «фазовая траектория» обычно подразумевает, что соседние точки множества (3) для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса (1) исследователь может получить через наблюдения (2), опираясь на замечательную теорему Такенса [5]: если система, которая порождает временной ряд, является П - размерной, и обеспечено выполнение неравенства р > 2п +1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффеоморфизм [6] между фазовыми траекториями и истинными данными, порождаемыми системой. Этот замечательный результат позволяет делать выводы о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информацию для прогнозирования этого поведения.
В настоящей работе исследуются два временных ряда (ВР) - макроэкономический и микроэкономический. Это соответственно ежедневные максимальные цены акций
«Сбербанк» и трехдневный объем реализации товара одного наименования. Введем обозначения этих ВР:
X Z
(xt), i = 1,2,..., m. --(z,) , i = 1,2,..., n .
(4) (5)
Индексом i = 1,2,...,n занумерованы рабочие дни календарного периода с 1 апреля 2002 г. по 31 марта 2005 г., m = 745 для ВР «Сбербанк» и тройки дней календарного периода с 4 января 1999 г. по 31 декабря 2000 г., n = 238 для ВР «объем реализации товара». Здесь численные значения уровней (наблюдений) xi , zi соответственно означают
максимальную за день стоимость одной акции в рублях и трехдневный объем реализации одного наименования товара в штуках.
В настоящей работе ограничимся фазовой траекторией (ФТ) размерности р = 2, в частности, для ВР (4) и (5) ФТ определяются выражениями
02(X)=[(xi ,хг+1)}, i = 1,2,...,m-1,(6)
Ф2(Z)=izt ,Zi+1)}, i = 1,2,...,n-1.(7)
В целях визуализации на рисунках 1 и 2 дано графическое представление фазовых траекторий ВР X (4) и Z (5) .
3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000
Рисунок 1- Фазовая траектория временного ряда X (4) котировки акций Сбербанка
02 (X)
110 1 100 -
90 -
80 -
70
60 Н
50
40
30
20
10
0
0
102030405060708090100110
Рисунок 2- Фазовая траектория временного ряда Z (5) объема реализации одного
наименования товара 02 (Z)
Разложение фазовой траектории на квазициклы в существенной мере базируется на визуализации графического представления фрагментов данной фазовой траектории. При этом принимается во внимание направление вращения «по» или «против» часовой стрелки звеньев, соединяющих соседние точки (xi, xi+1), (xi+1, xi+2) визуализируемого фрагмента
рассматриваемой фазовой траектории. Определение термина «квазицикл» в некотором смысле близко к определению общепринятого понятия «цикл». Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что начальная и конечная точки квазицикла не обязательно должны совпадать. Конечная точка квазицикла определяется ее вхождением в окрестность начальной точки. При этом допускается самопересечение начального и конечного звеньев квазицикла, если это приводит к наилучшему сближению его начальной и конечной точек. Для каждого из представленных на рисунках 1 и 2 фазовых траекторий осуществлено разложение их на квазициклы. На рис.3 представлены типичные квазициклы, составляющие большинство в указанных разложениях. Характерной особенностью этих квазициклов является то, что они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют противоположное направление вращения против часовой стрелки (см. квазицикл рис.3(а), в котором звено (3,4) имеет направление своего вращения против часовой стрелки). Вторая особенность рассматриваемых фазовых траекторий состоит в том, что они содержат такие
достаточно продолжительные отрезки траектории, в которых отсутствует цикличность (см. рис.3(б)). Эти две особенности позволяют сделать вывод о «плохих» предпрогнозных характеристиках рассматриваемых временных рядов X (4) и Z (5) .
40 -,
35
30 -
25
20 Н
15
10
5 0
0
X,
X,
8
75Л
6,5 6
5,5 -i
5
4,5 4
10
20
30
40
45678
а)б)
Рисунок 3 - Примеры квазициклов во временных рядах X (4) и Z (5)
Таким образом, из фазового анализа этих ВР вытекает необходимость применения к ним процедуры агрегирования с целью улучшения их свойства цикличности.
2. Фазовые траектории временных рядов котировки акций Сбербанка и объема реализации одного наименования товара агрегированных недельными интервалами
Выбирая конкретное значение параметра агрегирования q (длина интервала) отметим, что исходные ВР (4) и (5) состоят из уровней, которые в календарном смысле относятся к будним дням. Иными словами, эти ВР можно разбить на недельные интервалы, принимая значение q = 5 для Сбербанка и q = 2 для ВР товара одного наименования. Эти
интервалы нумеруются индексом j = 1,2,..., l , l е {m, П} и обозначаются соответственно через
X1 (q) и Z1 (q).
В настоящем исследовании предлагается ежедневные показатели агрегировать в еженедельные периоды, используя метод выбора максимального значения показателя из
недельного интервала агрегирования для ВР «Сбербанк»
x j =
max x
j = 1, m. Для
другого ВР «объем реализации товара» предлагается использовать метод вычисления суммы объема реализации товара за период агрегирования Z j =
j = 1, П
В
ztGZJ (q)
результате проведенного агрегирования из временных рядов X , Z , представленных соответственно формулами (4) и (5), получены ВР еженедельных значений максимальных цен акций и объема реализации одного наименования товара, представленные формулами (7) и (8), где m = 156 для ВР «Сбербанк», П = 119 для ВР «объем реализации товара».
X = (х., i = 1,2,..., m,(7)
Z = {z, i = 1,2,..., П.(8)
На рисунках 4 и 5 представлены фазовые траектории временных рядов X(7) и Z(8) относительно которых можно говорить, что их уровни принимают «понедельные значения».
Для каждой из представленных на рисунках 4 и 5 фазовых траекторий осуществлено разложение их на квазициклы. На рис.6 представлены типичные квазициклы, составляющие большинство в указанных разложениях. Особенностью этих квазициклов является то, что при малой их длине (так же, как и в фазовых траекториях неагрегированных ВР) они содержат такие пары соседних звеньев, которые имеют противоположное направление вращения (см. рис.6, а), б)).
2
5
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]