страница - 0
К теории теплового скольжения квантового бозе-газа
Любимова Н. Н. (natlove@inbox.ru)
Московский государственный областной университет
Выведено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение бозе-газов в полупространственной задаче о тепловом скольжении. Найдено её аналитическое решение. Проведен анализ зависимости уравнения и скорости скольжения от величины параметра, представляющего собой отношение химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру.
1. Введение
История кинетических явлений в разреженных газах начинается со времен Максвелла и Больцмана (см. в [1]-[3]). При этом большинство работ по данной тематике посвящено изучению классических газов. Квантовые ферми-газы изучались главным образом в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах (см., например, [4], [5]). Квантовые бозе-газы рассматривались при исследовании кинетики фононов, магнонов и экситонов в конденсированных средах [5].
Однако и электроны в твердых телах, и фононы относятся к квазичастицам, чье поведение отличается от поведения свободных частиц, а электроны, кроме того, обладают зарядом, так что в этом случае мы имеем дело с кинетикой плазмы.
В настоящее время теоретический интерес представляет изучение влияния квантовых эффектов на кинетические процессы в нейтральных газах. Наибольшее влияние эти эффекты должны оказывать на поведение легких газов, таких как гелий и водород. В работе [6] рассмотрено модельное кинетическое уравнение для безмассового бозе-газа и построено его аналитическое решение в задаче о скачке температуры. В работе [7] рассмотрено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение бозе-газов и полупространственная задача Крамерса об изотермическом скольжении.
Предлагаемая работа посвящена дальнейшему изучению влияния квантовых эффектов (начатое в [7]) на кинетические явления в разреженных бозе-газах. Рассмотрение ведется на примере задачи о тепловом скольжении газа вдоль плоской поверхности.
Явление теплового скольжение газа вдоль поверхности состоит в возникновении движения газа вблизи неравномерно нагретой поверхности. В этом случае поток газа возникает в результате столкновений молекул с неравномерно нагретой стенкой в узком поверхностном слое газа, называемом часто слоем Кнудсена.
Пусть газ занимает полупространство x> 0 над плоской стенкой, летающей в плоскости х = 0. При этом предлагается, что он движется в
df + (vv) f = v(f dtv
eq
(1.1)
Здесь f - функция распределения молекул по скоростям, v - скорость молекул, v- частота столкновений молекул, feq - локально-равновесная функция распределения:
,3/2
f =
J eq
n( y )
m
2п k T (y)
Величины n(y),T(y),U(x) определяются как:
n(y) = f fd3V , U(x) =- f v f
n
exp(- m(v - u(x))2).
2 к T (y)
eq
T (y)
U( x)
2 Ш (v- U(x)
v fd3V
(1.2)
cm
3k n(y) f "2
fd 3V
2
2. Кинетическое уравнение для квантового бозе-газа
Рассмотрим обобщение кинетического уравнения (1.1) на случай квантового бозе-газа.
Функцию распределения будем считать не зависящей от t и z. Тогда уравнение (1.1) запишется в виде:
v x I+Vy I=v(feq - f) •(2.1)
Здесь f - функция распределения, v - скорость молекул, v -частота столкновений молекул. Функцию feq в (1.1) теперь будем понимать как локально-равновесная функция распределения Бозе - Эйнштейна:
г1m. ттч2
feq =-/Г-£* = (V - U) ,(2.2)
exp
-12
kT (y)
где /i(y) - химический потенциал, U=U(x) - массовая скорость газа.
Вместо соотношений (1.2) теперь имеем следующее соотношение, вытекающее из законов сохранения числа частиц, импульса и энергии:
f feqRtdC = f fRdC, i=1,2,...,5,
направлении оси у и имеет температурное поле: T(y) = T0 (1 + gTy), gT =GT/T,
GT - градиент температуры.
Требуется найти функцию распределения газовых молекул по скоростям f(x,y,v) и скорость теплового скольжения U0.
В качестве кинетического уравнения рассмотрим обобщение на квантовый случай БГК - уравнение (Бхатнагар, Гросс, Крук) с постоянной частотой столкновений:
R-1-1, R2~Vx, R3~Vy, R4-VZ, R5-8*.
Рассмотрим теперь применение кинетического уравнения (1.1) к задаче о вычислении скорости теплового скольжения квантового бозе-газа. При этом давление газа предполагается постоянным.
Уравнение состояния бозе-газа описывается соотношением [8]:
gV2m3/2 T5/2(y) ° u3/2du
P
3п2п3
-I
°exp u-й- kT(y))
const,
(2.3)
-1
где g = 2s + 1, h - постоянная Планка, s - спин - электрона. Давление газа предполагается постоянным.
Далее будем считать, что градиент температуры достаточно малым в том смысле, что относительный перепад температуры на длине свободного пробега молекул газа много меньше единицы. Это предположение позволяет линеаризовать задачу относительно равновесной функции распределения. Введем следующие безразмерные параметры:
c =
m
, X =vJJx, y =vJpy, a(y) = -(y)-
a =
T
0\./J0
Представим функцию распределения в виде f = f0 + f1, где f1 линейная поправка к равновесной функции f0.
Тогда уравнение (1.1) можно преобразовать к виду:
dx
c2 - 5 A(a)
2
(2.4)
где
A(a)
CO
I c3 f0 (a- ca )dc*
O
Icf0 (a-ca]dc<
Wy (x)
2I c2y f0 d3c
(2.5)
При выводе (2.4) существенно было использовано соотношение (2.3). Функцию f1 удобно искать в виде:
f1 = f0(a - c2 ) cy h(x,c,a) + gTy
c2 - 5 A(a) 2
Теперь функция h(x,c,a) будет удовлетворять уравнению:
dh
dx
2 5
-A(a) + h( x, c,a) = 2Wy (x). 2 J
(2.6)
Отметим, что f0 и f0 после перехода к безразмерным величинам принимают вид:
1exp(c2 - a)
fc
fc
exp(c2 - a) - ГJ° (exp(c2 - a) -1)2
Перейдем в знаменателе формулы (2.5) к сферическим координатам:
0
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3]