страница - 0
Эволюция локализованного вихря в вязком эллиптическом
течении
Шухман И. Г. (shukhman@iszf.irk.ru)
Институт Солнечно-Земной Физики, Российская Академия Наук, Сибирское Отделение, Иркутск 664033, А/я 4026, Россия
1. Введение
В предлагаемой статье мы продолжим исследование эволюции локализованного вихря в непараллельном плоском вязком сдвиговом течении.
Известно, что возможны два простейших варианта течений с постоянными пространственными градиентами компонент скорости. В одном из них линии тока представляют эллипсы, а во втором - гиперболы. Промежуточное положение занимает параллельное течение Куэтта (см. например, [1].) Модели этих течений достаточно хорошо изучены в рамках линейной теории гидродинамической устойчивости, причем в качестве элементарных возмущений рассматриваются плоские волны ~ exp(/kr) с зависящим от времени волновым вектором к(t).
Такие возмущения, как показано еще в работе Кельвина [2], представляют точное решение системы линеаризованных гидродинамических Навье-Стокса, если компоненты скорости фонового течения являются линейными функциям координат. Известно, что как гиперболическое [3], так и эллиптическое течение [4,5], экспоненциально неустойчивы относительно малых возмущений подобного типа (при подходящих соотношениях между параметрами волны и течения), в отличие от параллельного течения, в котором возможен только алгебраический транзиентный рост [6]
Однако, характер эволюции локализованного возмущения, в котором представлены волны с различными составляющими, динамика которых может сильно различаться, довольно трудно представить заранее, опираясь только на знание эволюции отдельных составляющих. Поэтому для изучения эволюции локализованного вихря требуется фактически провести новое отдельное исследование.
Такая задача возникла в связи с попыткой интерпретации экспериментов [7,8] по искусственной генерации шпилькообразных вихрей в сдвиговых течениях. В нашей предыдущей работе [9] мы выдвинули идею связать генерацию шпилькообразного вихря в устойчивом течении Куэтта с искажением этого течения неким внешним (относительно стационарным) фактором, который переводит течение Куэтта либо в гиперболическое, либо в эллиптическое течение, каждое из которых уже экспоненциально неустойчиво. В работе [9] мы проследили эволюцию вихря на фоне гиперболического течения. Здесь мы хотим продолжить это исследование, но теперь с эллиптическим течением.
Структура статьи такова. В §2 мы опишем модель течения и представим основные линеаризованные динамические уравнения для компонент завихренности, а также напомним основныерезультаты по устойчивости эллиптического течения, полученные в работах Bayly [4] и Landman & Saffman [5] при изучении одиночной плоской волны. Кроме того, мы снова рассмотрим динамику плоской волны, однако, теперь выполним описание не в терминах
собственных значений фундаментальной матрицы R,(t) , взятой в момент времени t = T, равный
периоду обращения жидкой частицы по эллипсу (как это, согласно теории Флоке, сделано в [4] и [5]), а с помощью введенного нами ранее при исследовании гиперболического течения понятия «текущего собственного значения» этой матрицы, которое зависит от времени. Этот способ описания, в отличие от принятого в [4] и [5], позволяет проследить за судьбой возмущения не только в моменты времени, кратные периоду обращения жидкой частицы по эллипсу, но также и в произвольные моменты времени. Такой подход является более предпочтительным в ситуации, когда в нашем распоряжении нет достаточно большого промежутка времени для наблюдения,
который охватывал бы по крайней мере несколько периодов.
В §3 изучается эволюция начального Гауссовского вихря как пакета таких плоских волн. Получены интегральные выражения для эволюции компонент завихренности в виде двумерных интегралов по угловым переменным, характеризующим ориентацию волновых векторов. Исследована динамика полной интенсивности вихря в зависимости от параметров начального вихря и степени отклонения течения от параллельного. Получены оптимальные значения сплюснутости эллипса, при которой при выбранном числе Рейнольдса к заданному моменту времени, прошедшему от начала эволюции, может быть получен наибольший рост интенсивности вихря. Здесь же представлены результаты численного расчета эволюции формы и ориентации вихря.
В §4 обсуждаются полученные результаты, в частности, в контексте проблемы формирования шпилькообразных вихрей.
2. Модель течения, основные уравнения и эволюция одиночной плоской
волны
2.1. Модель течения
Пусть в двумерном течении компоненты скорости Vx и Vy являются линейными функциями координат x и y :
Vx = -2(П + а) y; Vy = ±(П-а) x,(2.1)
где П (= const) - z -компонента завихренности, а (= const) - strain rate, абсолютное значение двух собственных значений (±а) тензора натяжений, П/7 =dVt/дх. +dV./dxt. При а<П
JJJ
выражения (2.1) описывают течение с эллиптическими линиями тока (х,y) = const (см. Рис. 1a)
Q+2a + Q-2a =const,(2.2)
которым мы и будем интересоваться в настоящей работе. Здесь (х, у) Отношение полуосей эллипса
Ь = \П-а a Ш + а
меняется от нуля до единицы при изменении а от П до нуля. Предельный случай а = П (b/a = 0) соответствует случаю параллельного течения с линейным профилем скорости ( Vx =-Пу, Vy = 0 ). При а = 0 (b/a = 1) течение превращается в течение с круговыми линиями
тока, соответствующее вращению жидкости как целого (pure rotational flow).
2.2. Уравнения на компоненты завихренности и эволюция компонент волнового вектора
Поскольку нас в первую очередь интересует эволюция вихря, мы будем исходить из уравнения для завихренности (в отличие от Bayly [4], который исходил из уравнений для скорости). Имеем:
- функция тока.
(2.3)
где
(2.4)
V = (-±(П + а)у, ±(П-<т)х, 0), Q = (0,0,Q)
(2.5)
- невозмущенные скорость и завихренность соответственно, а v и а - возмущения скорости и завихренности, - коэффициент вязкости.
Рис. 1: a - линии тока эллиптического течения, Vx = - (Q + cr) у, Vy = -2(Q - а) x, b - проекция траектории, описываемой концом волнового вектора к(t) на плоскость (k1,k2) .
Имеем из (2.4) (временно опуская для краткости вязкий член, который мы потом учтем, поскольку хорошо известно, как это сделать в конечных выражениях)
да1
д
д
л
V,- + V2 v дх1 дх2 j
1
д\>3
а1 - (Q - о)со2 - = 0 2дх.
(2.6)
дсо2
С
д
д
V,-+V2 v дх1 дх2 j
1
а2 + -(Q + a)a1 -Q-- = 0
2дх2
а а3 связана с а1 и со2 соотношением
да, да2 да3 -L + -- + -- = 0.
дх1 дх2 дх3
(2.7)
(2.8)
Здесь х = х, х2 = у, х3 = z . Уравнения (2.6) и (2.7) можно записать в более компактном виде:
1Л
La1 -(Q -а)а2 -Пд = 0;
2дх,
(2.9)
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8]