Пластический изгиб пластинки по заданной форме

Яремчук Ю.Ф. (IstominaG@tochka.ru)

ОАО "Туполев"

Пусть имеется некоторая гладкая поверхность двоякой кривизны заданной формы. Требуется найти форму плоской тонкой пластинки, которая в результате пластических деформаций могла бы принять форму заданной поверхности при взаимно-однозначном соответствии точек границ пластинки и поверхности.

Эта задача в некоторой степени связана с известной геометрической задачей развертки поверхности [1-5] и задачей получения лекал для раскроя тканей и другого материала при изготовлении одежды, кожгалантереи и мебели [5-7]. Однако имеются и существенные отличия:

-развертка поверхности (без нарушения соответствия точек границ поверхности и её развертки) может быть корректно реализована лишь для разворачиваемых поверхностей [1];

-в некоторых работах [3-4] развертываемая поверхность рассматривается как растяжимая и сжимаемая в своей поверхности пленка;

-в работе [5] развертка поверхностей одинарной и двоякой кривизны приближенно строится на базе изометрического отображения поверхности на плоскую область с использованием " Метода натянутых сеток";

-раскрой материала швейного производства оказывается, в смысле разворачиваемости поверхности, более "гибкой" процедурой, так как для получения требуемой формы поверхности материал допускает выточки, накладки, заглаживания и разглаживания - аналог деформируемости материала в своей плоскости.

В нашем случае в результате пластических деформаций тонкая гладкая оболочка произвольной формы может быть развернута на плоскость, если только деформации не достигают критических, разрушающих материал значений. Таким образом, толщина оболочки является существенным параметром.

Нельзя считать, что рассматриваемая постановка задачи является новой. В некоторых системах геометрического моделирования и конструирования, таких, например, как "Pro ENGINEER" и "Solid Edge" [8-10], решение задачи предлагается в виде одной из многочисленных возможностей системы и приводится последовательность интерактивных действий, приводящих к результату. Однако, в руководствах пользователя к этим системам содержатся элементарные геометрические и физические соображения, заложенные в алгоритм решения, касающиеся лишь цилиндрического изгиба плоской заготовки. В некоторых случаях, касающихся, в основном, проблем конструирования изделий из листового материала, приводятся полуэмпирические формулы.

Ниже рассмотрена модель исходной задачи, позволяющая свести эту непростую задачу к чисто геометрической. Получена приближенная формула расчета приращения площади малого элемента плоской однородной пластинки толщины h при её пластическом изгибе в соответствии с заданной поверхностью. Имеется в виду площадь срединной поверхности элемента.

Задача решается при следующих допущениях:

-при пластическом изгибе пластинки выполняется гипотеза прямых нормалей;

-существует нейтральная поверхность пластинки, не испытывающая деформаций;

-пластические деформации являются локальными - пластический изгиб любого элемента пластинки обусловлен пластическими деформациями только этого элемента;

- в виду того, что геометрия оболочки известна, а в исходном состоянии пластинка является плоской, можно не учитывать ни процесс пластического деформирования, ни свойства материала.

Пусть в параметрической плоскости выделен прямоугольный элемент исходной пластинки AU •AV, изображенный на рисунке 1. Форма пластинки изображена пунктирной линией, так как пока не определена.

Рис.1 Элемент AU, AV пластинки

В деформированном состоянии этому элементу соответствует элемент оболочки, площадь нейтральной поверхности которого равна AS = AU • AV. На рисунке 2 представлен деформированный элемент оболочки. Нейтральная поверхность, имеющая площадь исходной пластинки, обозначена буквами NS и отстоит от нижней поверхности на расстоянии eh. Здесь e является расстоянием между нижней и нейтральной поверхностями в долях толщины h оболочки. Срединная поверхность, площадь которой принимается за площадь оболочки, обозначена буквами MS, и расположена посередине между нижней и верхней поверхностями оболочки.

Рис.2 Деформированный элемент

Приращение площади выделенного элемента в результате пластической деформации есть разность между элементарной площадью срединной поверхности элемента и площадью AS.

5 (AS) = 4 (AUh + AU 0 )(АКЙ + A V)-AS.(1)

Здесь: AUh , AVh и AU0 , AV0 - размеры верхней и нижней поверхностей элемента оболочки.

Пусть RU и RV являются соответственно радиусами нормальной кривизны сечений оболочки рассматриваемого элемента (см. рис.2). В пределах данного элемента RU и RV рассматриваются постоянными величинами. В таком случае размеры элемента можно определить следующим образом:

AUh = (Ru + (1 - e)h) • A(Pu ,AVh = R + (1 - Ф) • Acpv,

AU0 = (Ru - eh) • Acpu, AV0 = R - eh) • Acpv.(2)

В выражениях (2) A<$U и AcpV являются приращениями угла наклона касательных к

сечениям нейтральной поверхности элемента вдоль U и V направлений.

Подстановка выражений (2) в (1) дает, c точностью до величин h 2 второго порядка малости, следующий результат:

5 (AS) = h(1 - 2e))R- + -R-IaS = h(1 - 2e) Kcp AS.(3)

Здесь Kср - средняя кривизна оболочки в пределах данного элемента. Полное приращение площади исходной пластинки определяется интегралом.